Дослiджується задача вибору оптимального керування системи, що описується параболiчною задачею з iнтегральною умовою за часом i обмеженими внутрiшнiм i стартовимкеруванням. Критерiй якостi задається сумою об’ємних iнтегралiв. За допомогою фунда-ментального розв’язку задачi Кошi для 2b-параболiчного рiвняння встановлено iснування,єдинiсть та iнтегральне зображення розв’язкiв задачi для2b-параболiчного рiвняння з iн-тегральною умовою за часовою змiнною. Знайдено оцiнки розв’язку нелокальної задачiдля2b-параболiчного рiвняння з iнтегральною умовою за часом та його похiдних в гельдерових просторах. Одержаний результат використано при дослiдженнi задачi оптимальногокерування. За допомогою формули Тейлора та iнтегрального зображення розв’язкiв нелокальної задачi знайдено необхiднi i достатнi умови iснування оптимального керуваннясистеми, що описується задачею для 2b-параболiчного рiвняння з iнтегральною умовоюза часовою змiнною.